<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 6>
<103>
6. Mltiplos e divisibilidade

Anos bissextos e a diviso por 4

  Menina fala:
  -- Ser que 1822, o ano da Independncia do Brasil, foi bissexto?
  Outra menina fala:
  -- E o que  um ano bissexto?

  O tempo que a Terra leva para dar a volta em torno do Sol (movimento 
de translao)  de aproximadamente 365 dias e 6 horas.
  O que fazer com essa diferena de 6 horas?
  Para resolver a questo, um pouco antes do incio da Era Crist, o 
imperador romano Jlio Csar implantou o calendrio Juliano, que apresenta 
um dia extra a cada 4 anos. Com isso, de 4 em 4 anos, temos um ano de 366 
dias, que  chamado de _ano _bissexto.
  O dia {a mais}  29 de fevereiro.

<F->
!::::::::::::::.
l  Ano 2000  _
l  29         _
l  fevereiro   _
h::::::::::::::j
<F+>

Calendrio bissexto

<F->
!::::::::::::::.
l  Ano 2001  _
l  28         _
l  fevereiro   _
h::::::::::::::j
<F+>

Calendrio no bissexto

<104>
  Menina fala:
  -- Ah! Agora entendi o que  um ano bissexto. Eles acontecem de 4 
em 4 anos.
  Outra menina fala:
  --  quase isso.

  Menina fala:
  -- Por que, tem mais?

  Havia ainda um pequeno problema a corrigir.  que o perodo de 
translao no  _exatamente de 365 dias e 6 horas, mas de 365, 5 
horas, 48 minutos e 46,7 segundos.
  Para corrigir o erro resultante dessa diferena, o papa Gregrio Xiii 
suprimiu 10 dias do ano de 1582 (5 a 14 de outubro).
  Alm disso, suprimiu o dia 29 de fevereiro de alguns anos terminados 
em 00.

  Menina fala:
  -- Como assim?
  Outra menina fala:
  -- Os anos terminados em 00 s sero bissextos se forem divididos 
exatamente por 400.

  Assim, os anos de 1600 e 2000 so bissextos e os anos de 1700, 1800 e 
1900 no so bissextos.
<P>
  Muitos eventos ocorrem de 4 em 4 anos: a Copa do Mundo de Futebol, 
as Olimpadas, as eleies municipais, etc.
  Quanto s Olimpadas, h um fato curioso: organizadas desde 1896, 
elas sempre coincidiram com os anos bissextos, com exceo de um nico 
ano.

<105>
  Veja na relao abaixo a seqncia de anos bissextos que coincidiram 
com a realizao das Olimpadas.

  Ano: 1896
  Cidade: Atenas (Grcia)

  Ano: 1900
  Cidade: Paris (Frana)

  Ano: 1904
  Cidade: Saint Louis (EUA)

  Ano: 1908
  Cidade: Londres (Inglaterra)

  Ano: 1912
  Cidade: Estocolmo (Sucia)

  Ano: 1920
  Cidade: Anturpia (Blgica)

  Ano: 1924
  Cidade: Paris (Frana)

  Ano: 1928
  Cidade: Amsterd (Holanda)

  Ano: 1932
  Cidade: Los Angeles (EUA)

  Ano: 1936
  Cidade: Berlim (Alemanha)

  Ano: 1948
  Cidade: Londres (Inglaterra)

  Ano: 1952
  Cidade: Helsinque (Finlndia)

<P>
  Ano: 1956
  Cidade: Melbourne (Austrlia)

  Ano: 1960
  Cidade: Roma (Itlia)

  Ano: 1964
  Cidade: Tquio (Japo)

  Ano: 1968
  Cidade: Cidade do Mxico (Mxico)

  Ano: 1972
  Cidade: Munique (Alemanha)

  Ano: 1976
  Cidade: Montreal (Canad)

  Ano: 1980
  Cidade: Moscou (URSS)

  Ano: 1984
  Cidade: Los Angeles (EUA)

<P>
  Ano: 1988
  Cidade: Seul (Coria do Sul)

  Ano: 1992
  Cidade: Barcelona (Espanha)

  Ano: 1996
  Cidade: Atlanta (EUA)

  Ano: 2000
  Cidade: Sydney (Austrlia)

  No foram realizadas as Olimpadas de 1916, 1940 e 1944 devido s 
Guerras Mundiais.
  A Olimpada realizada em Atenas, em 1906, no foi homologada pelo 
Comit Olmpico.
  Os nmeros correspondentes aos ltimos anos em que as Olimpadas 
foram organizadas tm uma particularidade em comum: 1948, 1952, ..., 1992, 
1996, 2000 so nmero que, divididos por 4, apresentam resto zero.

Atividades
  1. Em qual ano no bissexto realizou-se Olimpada? Por qu?

  2. Quais os trs primeiros anos bissextos do sculo Xxi?

  3. Rossini, autor da famosa e belssima pera-bufa {O Barbeiro de 
Sevilha}, nascido em 1792, em Besaro, viveu 76 anos, apesar de ter 
comemorado apenas 18 aniversrios. Como voc explica isto? Voc  capaz 
de adivinhar em que dia ele nasceu?

<106>
Mltiplos de 2

  Inmeras outras seqncias tm todos os elementos que do resto zero 
quando divididos por um mesmo nmero.
  Veja a seqncia dos nmeros pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

  -- Ela {pula} de dois em dois.

  Qualquer elemento da seqncia dos nmeros pares, quando dividimos 
por dois, d resto zero, ou seja, a diviso  exata.
  Dizemos, ento, que todos os nmeros pares so divisveis por 2.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::.
l    Todo nmero par    _
l  mltiplo de 2.        _
h:::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  -- E, com a seqncia dos nmeros mpares, acontece o mesmo?

  O mesmo no acontece com a seqncia dos nmeros mpares: 1, 3, 5, 
7, 9, 11, 13, ...
  Seus termos tambm {pulam} de dois em dois, mas, quando se divide 
um nmero mpar por dois, a diviso no  exata.

  -- Se um nmero  mpar, ele no  mltiplo de 2.

Atividades
  4. Responda sem fazer clculos: par ou mpar?
  a) 236+458
  b) 247+28
  c) 28`*66
  d) 37+73
  e) 13`*47
  f) 16+par
  g) 23+par
  h) 46`*par
  i) 57`*par
  j) par+par
  l) par+mpar
  m) mpar+mpar

<107>
  5. Veja na tabela publicada na {Folha de S. Paulo} de 18-je-ii os 
pontos que um tenista pode obter, conforme a etapa alcanada, no torneio de 
Roland Garros. Depois, responda:
  a) O campeo obtm o dobro dos pontos de quem alcana qual etapa?
<P>
  b) Quem obtm o dobro do dobro do dobro dos pontos da 2 rodada 
chegou em qual etapa?

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l  Os pontos em Roland Garros  _
r:::::::::::::::::::::::::::::::::w
l  Etapa alcanada      Total   _
r:::::::::::::::::::::::::::::::::w
l  Primeira rodada       1.'    _
l  Segunda rodada        21     _
l  Terceira rodada       42     _
l  Oitavas de final      84     _
l  Quartas de final     168     _
l  Semifinal            335     _
l  Final                552     _
l  Campeo              770     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  .'ponto por comparecimento

<P>
Mltiplos de 3

  Vamos explorar mais seqncias de nmeros que do resto zero 
quando divididos por um certo nmero.
  Observe que qualquer nmero da seqncia `(0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 
24, 27, ...`), quando dividido por 3, d resto zero.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    3 divide 18 que  mlti-  _
l  plo de 3.                    _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  -- Se um nmero  divisvel por 3, ento ele tambm  mltiplo de 3.

  Em muitas situaes matemticas  importante decidir se um nmero  
ou no divisvel por 3.

<108>
<P>
  Menina fala:
  -- Tenho 123 fotos e quero colar 3 fotos em cada pgina de um lbum. 
Quantas pginas, no mnimo, deve ter o lbum que eu vou comprar?

  Velinho fala:
  --  possvel repartir igualmente 1.234 balas entre 3 crianas, sem 
sobrar nenhuma bala?

  Uma maneira de responder essas perguntas  dividindo o nmero por 
3.

  -- O nmero 123  divisvel por 3?

  123/3=41
  resto zero

  Da mesma forma, voc pode dividir o nmero por 3 e observar o resto.

<P>
  -- E 1.234  divisvel por 3 ou no?
  1.234/3=411
  resto 1
  -- 1.234 no  divisvel por 3.

  -- E se o nmero for muito grande, por exemplo, 9.387.646, tem que 
fazer a conta para saber se ele  divisvel por 3?
  9.387.646/3=3.129.215
  resto 1
  -- Ufa!
  -- No tem um jeito mais simples?

  -- Tem, mas antes de aprender,  bom voc praticar um pouco o que 
sabe at aqui.

<109>
Atividades
  6. 17  mltiplo de 3? Por qu?

  7. Encontre um nmero maior que 40 que seja mltiplo de 3.

  8. Encontre um nmero menor que 50 que seja mltiplo de 3.

  9. Encontre um nmero ao mesmo tempo maior que 40 e menor que 50 
que seja mltiplo de 3.

  10. Pode existir um nmero que seja o maior mltiplo de 3?

  11. Escolha um mltiplo qualquer de 3 e some-o com outro mltiplo 
de 3. O que voc descobriu? Compare as suas concluses com as de seus 
colegas. O resultado  sempre mltiplo de algum nmero? Qual?

  12. Tome o mltiplo de 3 que voc escolheu no item anterior, 
multiplique-o por um nmero inteiro qualquer. O que voc descobriu? Discuta 
suas observaes, em grupo, com seus colegas.

<P>
  Trs alunos falam:
  -- J praticamos bastante. Agora, queremos aprender o jeito mais fcil.

Voltando ao assunto...

  Se quisermos saber se um nmero  ou no divisvel por 3, 
adicionamos os valores dos algarismos que o compem e verificamos se o 
resultado  mltiplo de 3.
  Vamos voltar ao nmero 9.387.646.
  9+3+8+7+6+4+6=43
  43 no  fivisvel por 3.
  Ento, 9.387.646 _no _ _divisvel por 3.

  --  fcil!

  Outro exemplo: 12.345
  1+2+3+4+5=15
  15  divisvel por 3.
  Ento, 12.345  divisvel por 3.

<110>
<P>
Atividades
  13. Quais entre os nmeros seguintes so mltiplos de 3?
  a) 7.665
  b) 658
  c) 99.999
  d) 1.260
  e) 3.331
  f) 54.321

  14. Qual  o mltiplo de 3 mais prximo de 1.111?

  15. Qual deve ser o valor do algarismo indicado por ... para que o 
nmero representado por 368''' seja divisvel por 3?

  16. Entre todos os nmeros de trs algarismos, qual  o menor e qual o 
maior mltiplo de 3?

<P>
Mltiplos de 4

  Para gerar os mltiplos de 4 basta multiplicar a seqncia dos nmeros 
naturais por 4:

<F->
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
0  4  8  12 16 20 24 28 32 36
<F+>

  Vamos investigar o que acontece quando adicionamos dois mltiplos 
de 4.
  Escolha dois nmeros quaisquer da segunda linha da tabela de 
mltiplos de 4.
  Supondo escolhidos 20 e 28, verifique que a soma deles, 48, tambm  
mltiplo de 4.

  --  mesmo, 48 tambm est na tabela dos mltiplos de 4.

  Sabe por que isso acontece?
  Porque:
  20=4`*5 e 28=4`*7
<P>
  Portanto:
  20+28=4`*5+4`*7=4`*`(5+7`)=4`*12=
 =48

  -- Escolha outros dois mltiplos de 4 e adicione-os. Verifique que o 
resultado tambm  mltiplo de 4.

<111>
Atividades
  17. Encontre todos os mltiplos de 4 maiores que 80 e menores que 
100.

  18. Descubra o primeiro nmero maior do que zero, que  ao mesmo 
tempo mltiplo de 4 e de 3.

  19. Escreva a seqncia dos 20 primeiros nmeros pares e marque 
aqueles que so mltiplos de 4. Para essa seqncia, quais afirmaes so 
verdadeiras e quais so falsas? Justifique.
  a) Todo mltiplo de 4 tambm  mltiplo de 2.
  b) Todo mltiplo de 2 tambm  mltiplo de 4.
  c) Existem mltiplos de 4 que no so divisveis por 3.
  d) Existem mltiplos de 4 que no so divisveis por 2.

  20. Qual  o mltiplo de 4 mais prximo do ano em que voc nasceu?

  21. Descubra quais entre os nmeros abaixo so mltiplos de 4.
  10 - 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 70 - 80 - 90 - 100 - 110 - 120

  22. Explique por que a soma 24+32+40 d um mltiplo de 4. (No  
necessrio fazer clculos.)

  23. Encontre dois mltiplos de 4 cuja soma  igual a 100. Compare seu 
resultado com o de seus colegas. A soluo  nica?

  24. Qual  o mltiplo de 4 mais prximo de 1.111?

  25. Decomponha o nmero 4.444 em unidades de milhar, centenas, 
dezenas e unidades, e explique por que ele  mltiplo de 4.

  26. Tente decompor os nmeros abaixo em uma adio em que todas 
as parcelas so mltiplos de 4:
  a) 92
  b) 234
  c) 236
  d) 238
  e) 1.234
  f) 1.236
  g) 1.238
  h) 1.800
  i) 1.822

<112>
Como saber se 4 divide um nmero

  Quando voc fez a atividade 23, deve ter percebido que 100  
mltiplo de 4 ou, em outras palavras, que 100  divisvel por 4.
  100=4`*25 e 100/4=25

 100=4+96
 100=8+92
 100=12+88
 100=16+84
 100=20+80
 100=24+76
 100=28+72
 100=32+68
 100=36+64
 100=40+60
 100=44+56
 100=48+52

  Para saber se um nmero  divisvel por 4, voc deve lembrar que:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    1) A soma de dois mlti-    _
l  plos de 4 tambm  um mlti-    _
l  plo de 4.                       _
l    2) 100  divisvel por 4.  _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  -- 124  divisvel por 4?

  Acompanhe:
  124=100+24
  124 :o mltiplo de 4
  100 e 24 :o mltiplos de 4

  -- Humm!!! J sei.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    100=4`*25                   _
l    24=4`*6                     _
l    Da:                         _
l    124=4`*`(25+6`)              _
l    124=4`*31                   _
l    Concluso: 124  mltiplo   _
l  de 4.                          _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  -- Vamos conferir?
  124/4=31
  resto zero

<113>
  Outro exemplo:
  Verifique se 236  divisvel por 4.
<P>
  Para isso, decomponha o 236 em mltiplos de 4 que voc conhece. Por 
exemplo:
  236=200+36 ou
  236=100+100+36
  Ento, 236  divisvel por 4 porque pode ser decomposto numa adio 
de mltiplos de 4.

  -- Mas como posso saber se 200  mltiplo de 4?

  H vrias maneiras de saber isso.
  Uma delas  decompondo 200 em mltiplos conhecidos de 4; outra  
reconhecer que:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Mltiplos de mltiplos de    _
l  4 tambm so mltiplos de 4.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Temos:
  200=20`*10 e 20=4`*5, logo 
 200=`(4`*5`)`*10=4`*`(5`*10`)
  Ento, 200  mltiplo de 20 e 20  mltiplo de 4. Logo, 200  mltiplo 
de 4.
  Qualquer mltiplo de 20 tambm  mltiplo de 4 e essa propriedade 
vale para qualquer mltiplo de 4.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Aluna fala:                   _
l    o J sei! Qualquer mlti-   _
l       plo de 8 tambm  mlti-   _
l       plo de 4.                  _
l    Outra aluna fala:             _
l    o Qualquer mltiplo de       _
l       12 ou 16 tambm  mlti-  _
l       plo de 4.                  _
l    Professor fala:               _
l    o Isso mesmo! E assim       _
l       por diante.                 _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
Atividades
  27. Explique por que os nmeros a seguir so mltiplos de 4.
  a) 36
  b) 72
  c) 360
  d) 396
  e) 720

  28. Explique por que o nmero obtido pela multiplicao 
2`*2`*3`*5`*7  mltiplo de 4.

<114>
De volta aos anos bissextos

  Da forma como foi organizado nosso calendrio, todo ano bissexto  
mltiplo de 4.

  Professor fala:
  -- Para saber se um ano  bissexto sem consultar um calendrio e nem 
ter que efetuar a diviso por 4, basta decompor o ano em mltiplos de 4.

  A maneira mais simples de verificar se um ano  bissexto  observar os 
dois ltimos algarismos do ano e determinar se o nmero formado por eles  
divisvel por 4.
  Vamos considerar, por exemplo, o ano de 1996.
  1996  bissexto porque 1996  mltiplo de 4. Veja:
  1996=1900+96
  1900 :o  mltiplo de 100 e 100  mltiplo de 4
  96 :o  mltiplo de 4 porque pode ser decomposto em mltiplos de 4 
`(96=80+16`)

  -- E 1822, o ano da Independncia do Brasil, foi bissexto?

  Vamos verificar:
  1822=1800+22
  1800 :o  mltiplo de 100, ento  mltiplo de 4
  22 :o no  mltiplo de 4

  Ento, 1822 _no _ mltiplo de 4 e, portanto, 1822 _no _foi ano 
bissexto.

  -- Para conferir, efetue a diviso 1822/4.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Importante: Se na decomposi-  _
l  o de um nmero todas as par-    _
l  celas so mltiplos de 4,        _
l  exceto uma, o nmero resul-       _
l  tante da adio no  mlti-      _
l  plo de 4.                        _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<115>
Atividade
  29. Assinale entre as datas indicadas quais coincidem com anos 
bissextos.
  1792 -- Execuo de Tiradentes
  1876 -- Inveno do telefone por Alexandre Graham Bell
  1889 -- Proclamao da Repblica
  1906 -- Santos Dumont voa com o 14-Bis
  1922 -- Semana da Arte Moderna, em So Paulo
  1930 -- Revoluo de 30
  1948 -- Declarao dos Direitos do Homem
  1958 -- Copa do Mundo de futebol na Sucia
  1970 -- Tricampeonato mundial de futebol
  1972 -- Emerson Fittipaldi ganha o campeonato mundial de Frmula 1
  1992 -- Olimpadas de Barcelona
  ???? -- Ano do seu nascimento

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figuras sobre as datas   o
  acima.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

<116>
<P>
Mltiplos de 5

  A seqncia dos nmeros divisveis por 5 voc conhece desde os 
tempos da tabuada:
  0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,
 40'''
  Essa seqncia alterna nmeros terminados em 0 e 5.
  Veja que 10=2`*5.
  Logo, qualquer mltiplo de 10 tambm  mltiplo de 5.
   sempre possvel decompor um nmero maior do que 10 em uma 
adio de duas parcelas das quais uma  um nmero divisvel por 10:
  17=10+7
  23=20+3
  35=30+5
  146=140+6
  3.679=3.670+9

  10, 20, 30, 140, 3.670 :o mltiplos de 10

  -- Para saber se um nmero  ou no divisvel por 5, basta verificar se 
o algarismo das unidades  0 ou 5.

Atividades
  30. Quais so mltiplos de 5 entre os nmeros 128 e 194?

  31. Considere uma pessoa que nasceu no dia 23 de junho de 1975. 
Somando todos os nmeros relacionados  data de nascimento, dia, ms 
e ano
`(23+6+1975`), obtm-se 2.004. Este nmero no  divisvel por 5, pois o 
algarismo das unidades de 2.004 no  0 ou 5.
  a) E o ano em que voc nasceu  mltiplo de 5?
  b) Adicione os nmeros correspondentes ao dia, ms e ano de seu 
nascimento e verifique se o resultado  divisvel por 5.

<P>
  32. Adicione os nmeros correspondentes  data de hoje (dia, ms e 
ano) e verifique se o resultado  divisvel por 5.

  33. Descubra o menor nmero que  ao mesmo tempo divisvel por 4 e 
por 5:
  a) e que tenha 2 algarismos.
  b) e que tenha 3 algarismos.

<117>
6, um nmero perfeito

  6=2`*3
  Como 1  elemento neutro da multiplicao: 6=1`*2`*3
  Pensado de trs para frente:
  6/1=6
  6/2=3
  6/3=2
  Assim, 6  divisvel por 1, por 2 e por 3, o que equivale a dizer que 6  
mltiplo de 1, de 2 e de 3.
  Observe tambm que: 6=1+2+3
<P>
  Essa relao curiosa levou os antigos gregos a considerar o nmero 6 
perfeito.
  Como vimos, o nmero 6 pode ser obtido adicionando ou 
multiplicando todos os seus divisores, com exceo dele mesmo.
  Agora, veja a seqncia de mltiplos de 6.
  0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
  0=0`*6=0`*`(2`*3`)
  6=1`*6=1`*`(2`*3`)
  12=2`*6=2`*`(2`*3`)
  18=3`*6=3`*`(2`*3`)
  24=4`*6=4`*`(2`*3`)
  30=5`*6=5`*`(2`*3`) e assim por diante.
  Todo mltiplo de 6 tambm  mltiplo de 2 e de 3.

<P>
  Histria em quadrinhos:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                  _
l    Professor fala:                _
l    o Para verificar se um n-    _
l       mero  divisvel por 6,     _
l       basta observar se ele       _
l       divisvel por 2 e por 3    _
l       simultaneamente.             _
l    Aluno fala:                    _
l    o Ah! Ento 33 no  divi-  _
l       svel por 6 porque, ape-    _
l       sar de ser divisvel por     _
l       3, no  par.               _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Aluna fala:                   _
l    o E 46 no  divisvel por  _
l       6 porque, apesar de ser    _
l       par, no  divisvel        _
l       por 3.                     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.               _
l    Outra aluna fala:           _
l    o 54  divisvel por 6    _
l       pois  par e  divisvel  _
l       por 3 `(5+4=9 e 9    _
l       mltiplo de 3`).          _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<118>
Atividade
  34. Existe um nmero perfeito que  maior do que duas dzias e menor 
do que trs dezenas. Descubra qual  esse nmero.

Mltiplos de 7

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: Crianas brincando   o
  de roda cantando:                o
    -- {Sete e sete so cator-    o
  ze, com mais sete vinte e um,    o
  tenho sete namorados mas no     o
  gosto de nenhum.}                o
eieieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  Multiplicando-se qualquer nmero por 7, obtm-se um mltiplo de 7.
  Para verificar se um nmero  divisvel por 7, recomenda-se a 
decomposio do nmero em mltiplos de 7.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.             _
l    Professor fala:           _
l    o 840  mltiplo de 7   _
l       porque 840=700+140.  _
l       Quem conhece outros    _
l       mltiplos de 7?        _
l    Aluna 1 fala:            _
l    o 7  mltiplo de 7.    _
l       E o 14 tambm.        _
l    Aluno fala:               _
l    o 70  mltiplo de 7.   _
l    Aluna 2 fala:            _
l    o E o 700 tambm       _
l       mltiplo de 7.         _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Aluna 1 fala:                _
l    o 140  mltiplo de 7.      _
l    Aluno fala:                   _
l    o Ento, 700+140  mlti-  _
l       plo de 7.                  _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<119>
Atividades
  35. Sabe-se que 21 e 35 so mltiplos de 7. Obtenha outros mltiplos 
de 7 fazendo operaes com 21 e 35.

  36. Sabendo que 28 e 42 so mltiplos de 7, obtenha outros mltiplos 
de 7.

<P>
  37. Veja abaixo o tempo mdio, em dias, de gestao ou incubao de 
alguns animais. Quais deles representam um nmero exato de semanas, isto , 
quais deles so mltiplos de 7?
  albatroz :o 79
  camelo :o 406
  elefante indiano :o 624
  hipoptamo :o 240
  leo-marinho :o 350
  pingim :o 63
  rinoceronte :o 560
  tartaruga-do-mar :o 55
  tigre :o 105
  zebra :o 365

Voltando ao assunto...

  O procedimento da decomposio adotado para testar a divisibilidade 
por 7 pode ser estendido para qualquer outro nmero.
  Voc pode verificar rapidamente se um nmero  ou no divisvel por 
8 decompondo o nmero em mltiplos de 8.
  Vamos tomar como exemplo o nmero 846.

<F->
    846
  800+46
     40+6
<F+>
 
  800, 46, 40 :o so mltiplos de 8
  6 :o no  mltiplo de 8

  Aluno pensa:
  -- 846/8=105. Resto 6.

<120>
  Portanto, 846 no  mltiplo de 8.

  Aluna 1 fala:
  -- E 1.728,  mltiplo de 8?
  Aluna 2 fala:
  -- 1.00=8`*125

<F->
    1.728
  1.00+728
      720+8
<F+>

<P>
  1.728  uma soma de mltiplos de 8 e, portanto,  um nmero mltiplo 
de 8.

Atividade
  38. Quais nmeros de quatro algarismos distintos podemos formar 
com 1, 2, 3 e 4, que sejam mltiplos de 8?

Mltiplos de 9

  A seqncia dos mltiplos de 9 `(0, 9, 18, 27, 36, 45, ...`)  uma das 
mais curiosas. Acompanhe a histria em quadrinhos.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Aluno fala:                 _
l    o Aprendi um jeito engra-  _
l       ado de multiplicar       _
l       por 9.                   _
l    Aluna 1 fala:              _
l    o Ento, multiplica a     _
l       4`*9.                    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                _
l    Aluno fala:                  _
l    o Abro as duas mos e       _
l       abaixo o 4 dedo. Agora  _
l       eu leio o nmero da es-    _
l       querda e o da direita.     _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.  _
l    Aluno fala:    _
l    o 4`*9=36.   _
h::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.            _
l    Aluna 1 fala:           _
l    o Deixa eu tentar com   _
l       o 8`*9.               _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 5.       _
l    Aluna 1 fala:      _
l    o O nmero  72.  _
h:::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 6.               _
l    Aluna 2 fala:              _
l    o E se o nmero for muito  _
l       grande, por exemplo,      _
l       847? Como saber se     _
l       mltiplo de 9?           _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<121>
  Nesse caso, decomponha o nmero em mltiplos de 9 fceis de 
calcular mentalmente.

   mltiplo de 81, que  mltiplo de 9
  847=810+37
  mltiplo de 9 :o 36+1 sobrou 1, que no  mltiplo de 9

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  -- 847, quando dividido por 9, d resto 1.
  -- Humm... ento 846, que  igual a 847-1, deve ser mltiplo de 9.

  Logo, 847 no  mltiplo de 9.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                   _
l    Aluna 2 fala:                  _
l    o Como fica para um nmero     _
l       ainda maior: 1.728, por      _
l       exemplo?                      _
l    Professor fala:                 _
l    o Tente. Voc vai concluir    _
l       que 1.728  mltiplo de 9.  _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Professor fala:               _
l    o Mas no tempo da minha      _
l       v... havia uma outra       _
l       regra, bem curiosa.         _
l    o Adicionavam-se os valo-    _
l       res dos algarismos que      _
l       compunham o nmero. Se     _
l       a soma fosse um mltiplo    _
l       de 9, ento o nmero era   _
l       mltiplo de 9.             _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Acompanhe:
  847 :o 8+4+7=19 :o 1+9=10 :o
 1+0=1
  1 no  mltiplo de 9. Ento 847 no  mltiplo de 9.
  1.728 :o 1+7+2+8=18 :o 1+8=9
  Deu 9. Ento 1.728  mltiplo de 9.

<P>
  Aluna 1 fala:
  -- Em um nmero como 1?cg, qual ser o algarismo escondido para 
que o nmero seja mltiplo de 9?

  1+?+3+7
  11+?
  Nesse caso, 11+? Deve ser igual a 18, ento 18-11=7.

  Aluno fala:
  -- Ah! Ento o algarismo escondido  7 e o nmero  1.737.
  Professor fala:
  -- Resumindo e comparando: Usando a tcnica que minha av 
aprendeu, voc decide _mais _rpido. Usando a tcnica de decompor em 
mltiplos, voc _raciocina _mais.

<122>
Atividades
  39. Considere o ano de seu nascimento.  mltiplo de 6, de 7, de 8 ou 
de 9?

  40. Indique quais dos nmeros abaixo so mltiplos de 6. Indique 
tambm quais so mltiplos de 7, quais so mltiplos de 8 e quais so 
mltiplos de 9. Justifique suas respostas.
  a) 981
  b) 594
  c) 336
  d) 224
  e) 123
  f) 321
  g) 369
  h) 963
  i) 936
  j) 396
  l) 1.001
  m) 222

  41. Calcule a soma dos nmeros do dia, ms e ano do seu nascimento.
  Descubra se o resultado  um mltiplo de 6, de 7, de 8 ou de 9.

<P>
  42. Qual  o menor nmero diferente de zero que  ao mesmo tem 
mltiplo:
  a) de 6 e de 7?
  b) de 6 e de 8?
  c) de 6 e de 9?
  d) de 7 e de 8?
  e) de 7 e de 9?
  f) de 8 e de 9?
 
  43. Qual  o menor nmero de trs algarismos que  ao mesmo tempo 
mltiplo:
  a) de 6 e de 7?
  b) de 6 e de 8?
  c) de 6 e de 9?
  d) de 7 e de 8?
  e) de 7 e de 9?
  f) de 8 e de 9?

  44. Siga as pistas e encontre o nmero misterioso.
   divisvel por 3.
   mltiplo de 4.
  No  divisvel por 5.
  Est entre 680 e 977.
  A soma de seus algarismos  12.

  45. Determine os possveis valores de o para que:
  a) 23o Seja divisvel por 5
  b) #odf seja divisvel por 3
  c) 13oe seja divisvel por 3
  d) 76od seja divisvel por 2
  e) #oea seja divisvel por 2
  f) 1odi seja divisvel por 9
  g) 44o seja divisvel por 4
  h) 56o seja divisvel por 6
  i) 42o seja divisvel por 7
  j) 3ode seja divisvel por 5

  46. Descubra e escreva um nmero de quatro algarismos divisvel por 
3 e por 4 que:
  a) seja o menor possvel
  b) seja o maior possvel
  c) tenha os quatro algarismos todos iguais
  d) tenha todos os algarismos distintos e seja menor que 1.200.

<123>
  47. Indique quais afirmaes so verdadeiras e quais so falsas.
  a) 1  divisor de qualquer nmero inteiro.
  b) 0  divisor de qualquer nmero inteiro.
  c) 1  mltiplo de qualquer nmero inteiro.
  d) 0  mltiplo de qualquer nmero inteiro.
  e) 147  mltiplo de 147.
  f) 13  divisor de 13.
  g) 35 no  divisor de 35.
  h) 231 no  mltiplo de 231.
  i) O dobro de 142.857  mltiplo de 142.857.

<P>
Mltiplos comuns

  Uma transportadora dispe de 3 caminhes para atender cidades de 3 
regies. O primeiro caminho leva 3 dias para fazer a viagem de ida e volta 
em direo ao norte, o segundo leva 4 dias para fazer a vigem de ida e volta 
em direo ao sul e o ltimo leva 5 dias para fazer a viagem de ida e volta em 
direo ao leste. No incio do ms, os 3 caminhes partiram ao mesmo tempo 
para suas respectivas localidades. Depois de quantos dias eles voltaram a se 
encontrar na sede da empresa?

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Figura: 3 caminhes cada   o
  um com letreiro dizendo        o
  leste, sul e norte.            o
eieieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

<P>
  Conforme a situao descrita temos que:
  o O primeiro caminho volta  empresa depois de 3, 6, 9, 12, 15, ... 
dias;
  o O segundo caminho volta  empresa depois de 4, 8, 12, 16, 20, ... 
dias;
  o O terceiro caminho volta  empresa depois de 5, 10, 15, 20, 25, ... 
dias.
  Ento, vamos analisar os conjuntos de mltiplos de 3, 4 e 5.
  M`(3`)=`{0, 3, 6, 9, 12, 15,
 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...`}
  M`(4`)=`{0, 4, 8, 12, 16, 20,
 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...`}
  M`(5`)=`{0, 5, 10, 15, 20, 25,
 30, 35, 40, 45, 50, 55, ...`}

<124>
<P>
  Histria em quadrinhos

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                  _
l    Professor pergunta:            _
l    o Quais os nmeros que so,   _
l       ao mesmo tempo, mltiplos    _
l       de 3 e de 4?               _
l  !::::::::::::::::::::::::::::.    _
l  l  MC :o conjunto dos      _    _
l  l   mltiplos comuns         _    _
l  l  MC`(3, 4`)=`{0, 12,   _    _
l  l   24, 36, ...`}          _    _
l  h::::::::::::::::::::::::::::j    _
l    Aluno fala:                    _
l    o Olhe que curioso: o con-    _
l       junto dos mltiplos          _
l       comuns de 3 e 4  tambm   _
l       o conjunto dos mltiplos     _
l       de 12.                      _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Professor fala:               _
l    o Agora, vamos encontrar     _
l       o conjunto dos mltiplos    _
l       comuns de 4 e 5.          _
l    Aluna 2 fala:                _
l    o E esses tambm so os      _
l       mltiplos de 20.           _
l  !::::::::::::::::::::::::::::.   _
l  l  MC`(4, 5`)=`{0, 20,   _   _
l  l   40, 60, ...`}          _   _
l  h::::::::::::::::::::::::::::j   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.                 _
l    Professor fala:               _
l    o E agora vamos obter o      _
l       conjunto dos mltiplos      _
l       comuns de 3 e 5.          _
l    Aluna 1 fala:                _
l    o J sei! So os mltiplos  _
l       de 15.                     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.         _
l    Professor fala:       _
l    o Isso mesmo!        _
l       MC`(3, 5`)=M`(15`) _
h:::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 5.                    _
l    Aluna 1 fala:                   _
l    o Ah! Ento, para obter        _
l       os mltiplos comuns de         _
l       3, 4 e 5 basta obter        _
l       os mltiplos de 60,           _
l       pois 3`*4`*5=60.             _
l  !:::::::::::::::::::::::::::::::.   _
l  l  MC`(3, 4, 5`)=M`(60`)     _   _
l  l  MC`(3, 4, 5`)=`{0, 60,  _   _
l  l   120, 180'''`}             _   _
l  h:::::::::::::::::::::::::::::::j   _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Os exemplos acima sugerem que 0  mltiplo de qualquer nmero 
inteiro.

<125>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 6.                 _
l    Professor fala:               _
l    o Agora j podemos respon-   _
l       der a questo da trans-     _
l       portadora.                  _
l    o Ns calculamos o menor     _
l       mltiplo comum de 3, 4    _
l       e 5 (diferente de zero),   _
l       que  60.                  _
l    Aluna 1 fala:                _
l    o  mesmo. Os caminhes     _
l       voltaro a se encontrar     _
l       na empresa depois de        _
l       60 dias.                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Indicamos assim:

<F->
!:::::::::::::::::::::::.
l  mmc`(3, 4, 5`)=60  _
h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
Atividades
  48. Encontre o mmc dos nmeros:
  a) 8 e 12
  b) 4 e 8
  c) 5 e 7
  d) 5 e 6
  e) 12 e 8
  f) 6 e 12
  g) 8 e 9
  h) 10 e 12
  i) 12 e 15
  j) 21 e 56

  49. Qual o nmero que sempre aparece no conjunto dos mltiplos 
comuns de dois nmeros quaisquer?

  50. Determine:
  a) mmc`(5, 1`)
  b) mmc`(12, 1`)
  c) mmc`(a, 1`)
  d) mmc`(2, 4`)
  e) mmc`(3, 6`)
  f) mmc`(2, 4, 6`)
  g) mmc`(3, 6, 9`)
  h) mmc`(5, 10, 20`)
  i) mmc`(7, 14, 28`)
 
  51. Escreva em cada caso os 6 primeiros mltiplos comuns:
  a) M`(12, 18`)
  b) M`(12, 20`)
  c) M`(12, 24`)
  d) M`(24, 12`)
  e) M`(48, 64`)
  f) M`(48, 72`)
  g) M`(24, 48`)
  i) M`(72, 12`)
  j) M`(10, 50`)

  52. Em cada um dos casos da atividade anterior indique o menor 
mltiplo comum (mmc).

  53. Determine o MC`(12, 18, 30`), ou seja, o conjunto dos mltiplos 
comuns de 12, 18, e 30.

  54. Determine o mmc`(12, 15, 18`).

<126>
Retomando
  1. Qual a propriedade matemtica comum aos nmeros 
correspondentes aos anos em que se realizaram as Olimpadas neste sculo?

  2. Alm do nmero 4, que outros divisores comuns tm os nmeros 
correspondentes aos anos bissextos?

  3. Qual ser o primeiro ano bissexto do terceiro milnio?

  4. Escolha um mltiplo qualquer de 3. Multiplique-o por 5. O 
resultado  um mltiplo de 3? Justifique sua resposta.

  5. Tome o nmero resultante da multiplicao que voc fez no 
exerccio anterior. Multiplique-o por 7. Esse nmero  divisvel por 3? Por 
qu?

<P>
  6. Escolha um mltiplo de 4 qualquer. Multiplique-o por 3. O 
resultado  um mltiplo de 12? Por qu? Agora multiplique o resultado por 7. 
O novo produto ainda  mltiplo de 4?

  7. Considere os nmeros 2.571, 9.571, 1.333, 1.002, 4.444, 3.888, 973, 
123 e 4.011. Quais dentre eles so mltiplos de 3?

  8. Considere os nmeros 1.004, 4.001, 4.474, 4.442, 4.484, 9.613, 
7.172 e 1.312. Quais dentre eles so mltiplos de 4?

  9. Com os algarismos 1, 2 e 3 forme, sem repetio, nmero de 3 
algarismos. Voc encontrou mltiplos de 3? Por qu?

  10. Com 0, 2 4 e 8 forme, sem repetio de algarismos, nmeros de 4 
algarismos. Voc encontrou mltiplos de 4? Por qu?

  11. Descreva um critrio que permita decidir:
  a) se um nmero  divisvel por 10.
  b) se um nmero  divisvel por 100.
  c) se um nmero  divisvel por 12.

  12. Na classe de Frederico o professor prope atividades em grupo 
toda semana. Quando so formados grupos de 4, sobra 1 aluno; quando so 
formados grupos de 5, tambm sobra 1 aluno. Nessa classe no cabem mais do 
que 45 carteiras. Quantos alunos tem essa classe?

<127>
<P>
Revistinha

Nmeros abundantes, deficientes e perfeitos

O o:o e o ow, na Matemtica

  A idia de mltiplo e divisor  conhecida desde a Antigidade grega. 
Naquela poca, os sbios davam tanta importncia aos nmeros que lhes 
atribuam caractersticas humanas. Para voc ter uma idia, eles agrupavam os 
nmeros em masculinos (os mpares) e femininos (os pares).
  Inventaram os conceitos de nmeros abundantes e nmeros 
deficientes.

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    Foto: Orculo de Delfos,   o
  na Grcia.                     o
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<P>
Os nmeros abundantes

  Um nmero  abundante se a soma de seus divisores prprios (no 
inclui o prprio nmero)  maior do que ele mesmo.
   o caso, por exemplo, do nmero 12.
  D`(12`)=`{1; 2; 3; 4; 6; 12`}
 :o 1+2+3+4+6=16o12

Os nmeros deficientes
 
  Um nmero  deficiente se a soma de seus divisores prprios  menor 
que o prprio nmero.  o caso, por exemplo, do nmero 15.
  D`(15`)=`{1; 3; 5`} :o 
 1+3+5=915

<P>
 a vez dos nmeros perfeitos

  Os gregos chamavam de nmeros perfeitos os nmeros cuja soma dos 
divisores prprios resultavam no prprio nmero.  o caso dos nmeros 6 e 
28. Confira:
  6=1+2+3
  28=1+2+4+7+14

Os nmeros amigos

  Os gregos descobriram ainda uma curiosa relao entre os nmeros 
220 e 284. A soma dos divisores prprios de 220  igual a 284, e a soma dos 
divisores prprios de 284  igual a 220. Pitgoras chamou os nmeros que tm 
esta propriedade de nmeros amigos. Verifique se 220 e 284 so realmente 
amigos.

<P>
Descubra quem  quem

  Investigue os 100 primeiros nmeros naturais. Quais deles so 
abundantes, deficientes ou perfeitos?

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